María Sardina Jefe Departamento Matemáticas IES Celestino Mutis: Circunferencia goniométrica

miércoles, 4 de mayo de 2011

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas, de un plano euclídeo.
Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

$x^2 + y^2 = 1 = radio = hipotenusa \,$

Razones trigonométricas en la circunferencia unidad

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo con el eje X, las principales funciones trigonométricas se puede definir como valores de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:
El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

$\operatorname{sen}(\alpha)= \frac{a}{c}$

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

$\operatorname{sen}(\alpha)= a \,$

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

$\cos(\alpha)= \frac{b}{c}$

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

$\cos(\alpha)= b \,$

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente
$\tan(\alpha)= \frac{a}{b}$

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC

como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC

$\tan(\alpha)= segmento AE \,$

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica

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Con ayuda de la construcción de geogebra calcula las siguientes razones trigonométricas indicado con que ángulo del primer cuadrante estaría relacionado:

sen(130º)= cos(300º)= tag(330º)=

sen(330º)= sen(225º)= tag(130º)=

cos(150º)= sen(210º)= tag(225º)=

Ahora con ayuda de la construcción de geogebra intenta deducir fórmulas generales que relacionen las razones trigonométricas de ángulos correspondientes a los cuadrantes 2,3,4.

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Investiga con las razones de diferentes ángulos suplementarios y obtén la relación con las razones del ángulo correspondiente:

sen(180º-α)=

cos( 180º-α)=

tag( 180º-α)=

ÁNGULOS QUE SE DIFERENCIAN EN 180º

Investiga con las razones de diferentes ángulos que se diferencien en 180º y obtén la relación con las razones del ángulo correspondiente:

sen( 180º+α)=

cos( 180º+α)=

tag( 180º+α)=

ÁNGULOS QUE SUMAN 360º

Investiga con las razones de diferentes ángulos que se sumen 360º y obtén la relación con las razones del ángulo correspondiente:

sen( 360º-α)=

cos( 360º-α)=

tag( 360º-α)=

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Investiga con las razones de diferentes ángulos que se sumen 90º y obtén la relación con las razones del ángulo correspondiente:

sen( 90º-α)=

cos( 90º-α)=

tag( 90º-α)=